Solución:
Aplicando la Subsección 5.3.1 (pág 95), el área pedida es \[A=\inted D1xy.\]
Siguiendo las indicaciones que hemos dado al estudiar las regiones elementales bidimensionales, lo primero que deberíamos hacer es dibujar la figura. Sin embargo es casi imposible hacerlo de forma manual.
Cuando no se puede dibujar la figura, se puede intentar expresarla como región elemental manipulando directamente las desigualdades que la definen, transfromándolas en otras equivalentes que correspondan a la forma que tienen las regiones elementales. Si lo intentamos en este ejemplo, veremos que tampoco es posible.
Lo siguiente que podríamos intentar es transformar el recinto tomando coordenadas polares, lo cual no resulta descabellado debido a que aparece el término $x^2+y^2$ en la definición de $D$.
El cambio a coordenadas polares para integrales dobles es \[\begin{cases} x=\rho\cos\theta\\ y=\rho\sen\theta \end{cases}\] con $\rho\geq0$ y $0\leq\theta\leq2\pi$.
El recinto transfromado $D^{\star}$, se construye haciendo el cambio de variable a las desigualdades que definen $D$, y además añadiendo las desigualdades que aparecen en la definición del cambio a coordenadas polares, es decir \[\begin{split} D^{\star}=\con{\ve{\rho,\theta}\in\R^2}{\rho^4\leq 2\rho^2\cos\theta\sen\theta, \,\rho\cos\theta\geq0,\,\rho\geq0,\,0\leq\theta\leq2\pi}. \end{split}\] En el contexto de las coordenadas polares, es necesario asumir $\rho\geq0$ para que los conjuntos transformados sean compactos y se puedan realizar las integrales dobles resultantes, pero a efectos de simplificar las desigualdades debemos suponer $\rho\gt0$, que sería la condición verdaderamente correcta. Suponiento esto, tendríamos \[\begin{split} & \rho\cos\theta\geq0\Longleftrightarrow\cos\theta\geq0\Longleftrightarrow \theta\in[0,\pi/2]\cup[3\pi/2,2\pi],\\ &\rho^4\leq 2\rho^2\cos\theta\sen\theta\Longleftrightarrow \rho^2\leq 2\cos\theta\sen\theta=\sen2\theta, \end{split}\] de donde también se deduce que \[\sen2\theta\geq0\Longleftrightarrow\theta\in[0,\pi/2]\cup[\pi,3\pi/2].\]
De todo lo anterior se sigue que otra forma de expresar $D^{\star}$ es \[ D^{\star}=\con{\ve{\rho,\theta}\in\R^2}{0\leq\theta\leq\pi/2,\, 0\leq\rho\leq\sqrt{\sen2\theta}}. \] y por tanto $D^{\star}$ es una región elemental en coordenadas polares.
De este modo, \[\begin{split} &A=\inted D1xy=\inted{D^{\star}}\rho\rho\theta= \inte0{\pi/2}{\inte0{\sqrt{\sen2\theta}}\rho\rho}\theta\\ &=\inte0{\pi/2}{\barrow{\rho=0}{\rho=\sqrt{\sen2\theta}}{\frac{1}{2}\rho^2}}\theta =\frac{1}{2}\inte0{\pi/2}{\sen2\theta}\theta\\ &=-\frac{1}{4}\barrow0{\pi/2}{\cos2\theta}=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}. \end{split}\]
A modo de curiosidad, dibujando $D$ con medios informáticos se obtiene
Pero hemos de volver a recalcar que haciendo este problema sólo con medios manuales no dispondríamos de tal figura y deberíamos manipular las desigualdades a ciegas.
