EDO lineales escalares de orden 1

8.3.1 Ecuación lineal de orden 1

Consideramos una ecuación escalar lineal de orden 1 de la forma \begin{equation} y'+a(t)y=b(t). \label{eq:ord1:fint:lin:fnor} \end{equation} Sea $A(t)=\inte{}{}{a(t)}{t}$ una primitiva concreta de $a(t)$. Consideremos la función \begin{equation*} \mu(t)=e^{A(t)}. \end{equation*}

Se tiene que $\mu'(t)=a(t)\mu(t)$ y que $\mu(t)\gt0$ para cada $t$ en el dominio de $\mu$.

Por lo tanto multiplicando por $\mu(t)$ se obtiene una EDO con las mismas soluciones que $\eqref{eq:ord1:fint:lin:fnor}$ \begin{equation*} \mu(t)y'+a(t)\mu(t)y=b(t)\mu(t), \end{equation*} pero para el primer miembro de esta ecuación tenemos \begin{equation*} \mu(t)y'+a(t)\mu(t)y=\left(\mu(t)y\right)', \end{equation*} Luego $\eqref{eq:ord1:fint:lin:fnor}$ tiene las mismas soluciones que \begin{equation*} \left(\mu(t)y\right)'=\mu(t)b(t), \end{equation*} e integrando en los dos miembros \begin{equation*} \mu(t)y=\inte{}{}{b(t)\mu(t)}{t}+c,\;c\in\R, \end{equation*} y así la solución de la ecuación (\ref{eq:ord1:fint:lin:fnor}) es \begin{equation*} y(t)=\frac{1}{\mu(t)}\left(\inte{}{}{b(t)\mu(t)}{t}+c\right),\;c\in\R, \end{equation*} o escrita de otra manera \begin{equation*} \fres{y(t)=e^{-A(t)}\left(\inte{}{}{b(t)e^{A(t)}}{t}+c\right),\;c\in\R}. \end{equation*}

Nota 8.3.2 En caso de tener una ecuación lineal de la forma \begin{equation*} a_0(t)y'+a_1(t)y=c(t), \end{equation*} antes de poder aplicar lo anterior hay que escribirla en la forma \begin{equation*} y'+\frac{a_1(t)}{a_0(t)}y=\frac{c(t)}{a_0(t)}, \end{equation*} expresión que será válida para $a_0(t)\neq0$.
En estos casos, a veces es útil expresar la solución general en forma implícita mediante la fórmula \begin{equation*} \fres{e^{A(t)}y=\inte{}{}{b(t)e^{A(t)}}{t}+c,\;c\in\R}. \end{equation*}

Ejemplo 8.3.3 Sea la ecuación lineal \begin{equation*} y'+\frac{2t+1}{t}y=e^{-2t}. \end{equation*} En este caso \begin{equation*} a(t)=\frac{2t+1}{t},\;b(t)=e^{-2t}. \end{equation*} Calculemos la función $A(t)$, \begin{equation*} A(t)=\inte{}{}{a(t)}{t}=\inte{}{}{\frac{2t+1}{t}}{t}=2t+\log|t|. \end{equation*} La función $\mu(t)$ es \begin{equation*} \mu(t)=e^{A(t)}=|t|e^{2t}. \end{equation*} Multiplicando la EDO por $\mu(t)$ y agrupando las derivadas se llega a \begin{equation*} (|t|e^{2t}y)'=|t|, \end{equation*} e integrando (hay que expresar $|t|$ como una función definida a trozos para hacer la integral $\inte{}{}{|t|}{t}$) \begin{equation*} |t|e^{2t}y=\inte{}{}{|t|}{t}=\frac{|t|t}{2}+c,\;c\in\R, \end{equation*} por lo que la solución general es \begin{equation*} y(t)=\left(\frac{t}{2}+\frac{c}{|t|}\right)e^{-2t},\;c\in\R, \end{equation*} válida si $t\neq0$.