EDO lineales de coeficientes constantes

9.2 La ecuación lineal de orden $n$

En lo sucesivo supondremos que $n\in\N$, $I\in\R$ es un intervalo abierto, $a_1,\ldots,a_n\in\R$ y \[ b:I\longrightarrow\R \] es una función continua en $I$.

Una ecuación diferencial lineal de coeficientes constantes (EDL en lo sucesivo) de orden $n$ es de una EDO de la forma \begin{equation} y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+\cdots+a_{n-1}y'+a_ny=b(t). \label{eq:lin:eln:nohom} \end{equation} La función $b(t)$ recibe el nombre de término independiente.
Si $b(t)=0$ se dice que la EDL es homogénea (EDH en lo sucesivo).

Un problema de Cauchy asociado a una EDL es de la forma \begin{equation} \begin{cases} y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+\cdots+a_{n-1}y'+a_ny=b(t). \\[4mm] y(t_0)=\alpha_0,\;y'(t_0)=\alpha_1,\ldots,\;y^{(n-1)}(t_0)=\alpha_{n-1} \end{cases}, \label{eq:lin:eln:pc} \end{equation} con $t_0\in I$, $\alpha_0,\ldots\alpha_{n-1}\in\R$.

La EDH asociada a la EDL \eqref{eq:lin:eln:nohom} es \begin{equation} y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+\cdots+a_{n-1}y'+a_ny=0. \label{eq:lin:eln:hom} \end{equation}

Definición 9.2.1 Sea \[ \vn S=\sis{u_1(t),\ldots,u_n(t)} \] un sistema de $n$ funciones reales definidas sobre el intervalo $I$. La matriz $n\times n$ de funciones \begin{equation} \mat W(\vn S)= \matriz{cccc}{ u_1(t)&u_2(t)&\cdots&u_n(t)\\ u_1'(t)&u_2'(t)&\cdots&u_n'(t)\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ u_{1}^{(n-1)}(t)&u_{2}^{(n-1)}(t)&\cdots&u_{n}^{(n-1)}(t) } \label{wronskiana} \end{equation} recibe el nombre de matriz wronskiana de $\vn S$.

Propiedades 9.2.2

1. [Teorema de Picard para EDL]
   El problema de Cauchy \eqref{eq:lin:eln:pc} tiene solución única en $I$.


2. Las soluciones de la ecuación homogénea \eqref{eq:lin:eln:hom} forman un $\R$-espacio vectorial de dimensión $n$. Llamaremos sistema fundamental de soluciones de \eqref{eq:lin:eln:hom} a toda base del espacio de soluciones de \eqref{eq:lin:eln:hom}.


3. La solución general de la EDL \eqref{eq:lin:eln:nohom} se obtiene sumando una solución particular cualquiera de \eqref{eq:lin:eln:nohom} a la solución general de la EDH asociada \eqref{eq:lin:eln:hom}.


4. [Principio de superposición de soluciones]
   Sean $k\in\N$, $\lambda_1,\ldots,\lambda_k\in\R$ y $b_1(t),\ldots,b_k(t)$ funciones continuas en el intervalo $I$.
   Si para cada $j=1,\ldots,k$, $u_j(t)$ es una solución de \[ y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+\cdots+a_{n-1}y'+a_ny=b_j(t), \] entonces \[ u(t)=\lambda_1u_1(t)+\cdots+\lambda_ku_k(t), \] es solución de \[ y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+\cdots+a_{n-1}y'+a_ny= \lambda_1b_1(t)+\cdots+\lambda_kb_k(t). \]

9.2.1 Resolución de una EDH

Para resolver la EDH \eqref{eq:lin:eln:hom}, basta dar un sistema fundamental de soluciones (Propiedad 9.2.2, 2.). La solución general serán todas las combinaciones lineales de dicho sistema fundamental.

Algoritmo 9.2.3 [Sistema fundamental de soluciones de un SDH]

La entrada del algoritmo es la EDH \eqref{eq:lin:eln:hom} y la salida es $\vn S$, un sistema fundamental de soluciones de la EDH.

1. Sea $\vn S=\sis{~}$ un sistema de funciones vacío al que le iremos añadiendo funciones en las etapas siguientes.


2. Construimos el polinomio \[ P(x)=x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_{n-1}x+a_n, \] que recibe el nombre de polinomio característico de la EDH \eqref{eq:lin:eln:hom}.


3. Calculamos todas las raíces de $P(x)$, junto con sus multiplicidades


4. Para cada raíz real $\lambda$ con multiplicidad $m$, añadir a $\vn S$ las $m$ funciones \[ e^{\lambda t},te^{\lambda t},\ldots,t^{m-1}e^{\lambda t}. \] Obsérvese que si $m=1$, sólo se ñade la función $e^{\lambda t}$.


5. Para cada par de raíces complejas $a+ib$, $a-ib$ con multiplicidad $m$ para ambas y $b\neq0$, añadir a $\vn S$ las $m$ funciones \[ e^{at}\cos bt, te^{at}\cos bt,\ldots,t^{m-1}e^{at}\cos bt, \] y las $m$ funciones \[ e^{at}\sen bt, te^{at}\sen bt,\ldots,t^{m-1}e^{at}\sen bt, \] Obsérvese que las funciones que se añaden son la parte real y la parte imaginaria de las funciones $t^je^{(a+ib)t}$ para $j=0,\ldots,m-1$.

Si $[u_1(t),\ldots,u_n(t)]$ es la salida del Algoritmo 9.2.3, entonces la solución general de la EDH \eqref{eq:lin:eln:hom} es \begin{equation} \fres{ y(t)=c_1u_1(t)+\cdots+c_nu_n(t),\;c_1,\ldots,c_n\in\R. } \label{edh:sg} \end{equation}

Veamos algunos ejemplos.

Ejemplo 9.2.4 \[ y'''-y''-5y'-3y=0. \] Su polinomio característico es \[ P(x)=x^3-x^2-5x-3=(x-3)(x+1)^2. \] Por tanto sus raíces son $3$ y $-1$ con multiplicidades respectivas $1$ y $2$. Todas las raíces son reales.
La raíz $3$ aporta la función $e^{3t}$.
La raíz $-1$ aporta las funciones $e^{-t}, te^{-t}$.
Así un sistema fundamental de soluciones es \[ \sis{e^{3t},e^{-t},te^{-t}}. \] La solución general de la ecuación es \[ c_1e^{3t}+c_2e^{-t}+c_3te^{-t},\;c_1,c_2,c_3\in\R. \]

Ejemplo 9.2.5 \[ y^{(5)}-7y^{(4)}+19y'''-25y''+16y'-4y=0. \] Su polinomio característico es \[ P(x)=x^5-7x^4+19x^3-25x^2+16x-4=(x-1)^3(x-2)^2. \] Sus raíces son $1$ y $2$ con multiplicidades respectivas $3$ y $2$. Todas las raíces son reales.
La raíz $1$ da lugar a $e^{t},te^{t},t^2e^{t}$.
La raíz $2$ aporta $e^{2t},te^{2t}$.
Un sistema fundamental de soluciones es \[ \sis{e^{t},te^{t},t^2e^{t},e^{2t},te^{2t}}, \] y la solución general es \[ c_1e^{t}+c_2te^{t}+c_3t^2e^{t}+c_4e^{2t}+c_5te^{2t},\; c_1,c_2,c_3,c_4,c_5\in\R. \]

Ejemplo 9.2.6 \[ y''+4y=0. \] El polinomio característico es \[ P(x)=x^2+4=(x-2i)(x+2i). \] Sus raíces son $2i$ y $-2i$ con multiplicidad $1$ las dos.
Por lo tanto el par $2i,-2i$ aporta las funciones $\cos2t,\sen2t$, y un sistema fundamental de soluciones es \[ \sis{\cos2t,\sen2t}. \] La solución general es \[ c_1\cos2t+c_2\sen2t,\; c_1,c_2\in\R. \]

9.2.2 Resolución de una EDL

Para resolver la EDL \eqref{eq:lin:eln:nohom}, basta añadir una solución particular de la EDL a la solución general de la EDH asociada (Propiedad 9.2.2, 3.).

Como ya sabemos resolver sistemas homogéneos (Subsección 9.2.1), nos centraremos en encontrar una solución particular de una EDL.

Algoritmo 9.2.7 [Solución particular de una SDL]

La entrada del algoritmo es la EDL \eqref{eq:lin:eln:nohom} y la salida es $y_p(t)$, una solución particular de la EDL.

1. Se toma $t_0\in I$ cualquiera. En la práctica se elige un punto que sea sencillo.
2. Obtener un sistema fundamental de soluciones de la EDH asociada, \[ \vn S=\sis{u_1(t),\ldots,u_n(t)}. \] (Por ejemplo, mediante el Algoritmo 9.2.3)


3. Se calcula la matriz wronskiana de $\vn S$ y se evalúa en cero. Sea $\mat A=\mat W(\vn S)(0)$ tal matriz.
   Obsérvese que $\mat A$ es una matriz $n\times n$ de números reales. Además si como $\vn S$ tomamos el que nos da el Algoritmo 9.2.3, su estructura es muy sencilla y siempre sale inversible.


4. Resolver el sistema de ecuaciones lineales (Matemáticas I) cuya matriz ampliada es \[ \matriz{c|c}{ \mat A& \begin{array}{c}0\\\vdots\\0\\1\end{array} } \] Sea $\ve{\beta_1,\ldots,\beta_n}\in\R^n$ la solución de dicho sistema.


5. Considerar la función \[ g(t)=\beta_1u_1(t)+\cdots+\beta_nu_n(t). \]


6. La función \[ y_p(t)=\inte{t_0}{t}{g(t-s)b(s)}s, \] es la solución particular buscada.

Nota 9.2.8 la solución $y_p(t)$ del Algoritmo 9.2.7 verifica \[ y_p(t_0)=y_p'(t_0)=\cdots=y_p^{(n-1)}(t_0)=0. \]

Si $g(t)$ es la función que se obtiene en el Algoritmo 9.2.7, podemos escribir la solución general de la EDL \eqref{eq:lin:eln:nohom} como \begin{equation} \fres{ y(t)=c_1u_1(t)+\cdots+c_nu_n(t)+\inte{t_0}{t}{g(t-s)b(s)}s,\; c_1,\ldots,c_n\in\R. } \label{edl:sg} \end{equation}

Ejemplo 9.2.9 Vamos a resolver la EDL \[ y''+4y=\sen t. \] En esta EDL, tenemos $b(t)=\sen t$, que es continua en todo $\R$. La EDH asociada es \[ y''+4y=0, \] de la cual calculamos en el Ejemplo 9.2.6 un sistema fundamental de soluciones \[ \vn S=\sis{\cos2t,\sen2t}. \] Calculamos su matriz wronskiana \[ W(\vn S)=\matriz{cc}{ \cos2t&\sen2t\\ -2\sen2t&2\cos2t } \] y la evaluamos en $0$ para obtener \[ A=W(\vn S)(0)=\matriz{ll}{ 1&0\\ 0&2 } \] Resolvemos el sistema de ecuaciones lineales con matriz ampliada \[ \matriz{ll|l}{ 1&0&0\\ 0&2&1 } \] y obtenemos como solución \[ \ve{\beta_1,\beta_2}=\ve{0,\Frac{1}{2}}, \] por lo que \[ g(t)=0\cdot\cos2t+\Frac{1}{2}\sen2t=\Frac{1}{2}\sen2t. \] Podemos tomar cualquier valor como $t_0$, porque la función $b(t)=\sen t$ es continua en todo $\R$. Por simplicidad tomamos $t_0=0$, y la solución particular buscada es \begin{align*} y_p(t)&=\inte0t{g(t-s)b(s)}s \\ &= \inte0t{\Frac{1}{2}\sen2(t-s)\sen s}s \\ &= \barrow{s=0}{s=t}{\left(\Frac{1}{4}\sen(2t-s)-\Frac{1}{12}\sen(2t-3s)\right)} \\ &= \Frac{1}{3}\sen t-\Frac{1}{6}\sen2t \\ &= \Frac{1}{3}\sen t(1-\cos t). \end{align*} Por lo tanto la solución general de nuestra EDL es \[ c_1\cos2t+c_2\sen2t+\Frac{1}{3}\sen t(1-\cos2t),\; c_1,c_2\in\R. \]

9.2.3 Resolución de un problema de Cauchy

Para resolver el problema de Cauchy \eqref{eq:lin:eln:pc}, \begin{cases} y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+\cdots+a_{n-1}y'+a_ny=b(t). \\[4mm] y(t_0)=\alpha_0,\;y'(t_0)=\alpha_1,\ldots,\;y^{(n-1)}(t_0)=\alpha_{n-1} \end{cases} con $t_0\in I$, $\alpha_0,\ldots\alpha_{n-1}\in\R$, bastaría con calcular la solución general de la ecuación según la fórmula \eqref{edl:sg} y luego obtener los coeficientes $c_1,\ldots,c_n$ imponiendo que dicha solución general verifique las condiciones iniciales del problema de Cauchy.

Esta sería la misma técnica que utilizábamos en el Capítulo 8 para resolver problemas de Cauchy asociados a ecuaciones de orden $1$.

Sin embargo ahora, esta estrategia puede tener un alto coste computacional, ya que para imponer las condiciones iniciales necesitamos obtener las derivadas de la solución general hasta orden $n-1$ para evaluarlas en $t_0$.

En realidad, esta dificultad se ve mitigada si para calcular la solución particular utilizamos el Algoritmo 9.2.7 con el $t_0$ que aparece en el problema de Cauchy, puesto que por la Nota 9.2.8 sólo necesitaríamos imponer las condiciones iniciales a la solución general de la EDH asociada para obtener los valores adecuados de las constantes.

Proporcionaremos un algoritmo que sistematiza todos los cálculos para resolver directamente un problema de Cauchy asociado a una EDL.

Algoritmo 9.2.10 [Solución de un problema de Cauchy]

La entrada del algoritmo es el problema de Cauchy \eqref{eq:lin:eln:pc} y la salida es $\varphi(t)$, la solución de \eqref{eq:lin:eln:pc}.

1. Obtener un sistema fundamental de soluciones de la EDH asociada, \[ \vn S=\sis{u_1(t),\ldots,u_n(t)}. \] (Por ejemplo, mediante el Algoritmo 9.2.3)


2. Se calcula la matriz wronskiana de $\vn S$ y se evalúa en cero. Sea $\mat A=\mat W(\vn S)(0)$ tal matriz.


3. Resolver el sistema de ecuaciones lineales (Matemáticas I) cuya matriz ampliada es \[ \matriz{c|c}{ \mat A& \begin{array}{c}0\\\vdots\\0\\1\end{array} } \] Sea $\ve{\beta_1,\ldots,\beta_n}\in\R^n$ la solución de dicho sistema.


4. Resolver el sistema de ecuaciones lineales (Matemáticas I) cuya matriz ampliada es \[ \matriz{c|c}{ \mat A& \begin{array}{c}\alpha_0\\\vdots\\\alpha_{n-1}\end{array} } \] Sea $\ve{\gamma_1,\ldots,\gamma_n}\in\R^n$ la solución de dicho sistema.


5. Considerar la función \[ g(t)=\beta_1u_1(t)+\cdots+\beta_nu_n(t). \]


6. La función \[ \fres{ \varphi(t)=\gamma_1u_1(t-t_0)+\cdots+\gamma_nu_n(t-t_0) +\inte{t_0}{t}{g(t-s)b(s)}s, } \] es la solución de nuestro problema de Cauchy \eqref{eq:lin:eln:pc}.

Nota 9.2.11 Los sistemas de los pasos 3. y 4. del Algoritmo 9.2.10, tienen la misma matriz del sistema. Por lo tanto podemos aplicar las técnicas de Matemáticas I para la resolución simultánea de sistemas lineales con la misma matriz del sistema.

Nota 9.2.12 Si la EDL de nuestro problema de Cauchy es homogénea, entonces $b(t)=0$ y no hay que realizar el paso 3. ni el 5., porque el último sumando de la solución es $0$.

Ejemplo 9.2.13 Resolveremos el problema de Cauchy \[ \begin{cases} y''+4y=\sen t \\[4mm] y(0)=1, y'(0)=0. \end{cases} \] En la EDL, tenemos $b(t)=\sen t$, que es continua en todo $\R$. Las condiciones iniciales vienen dadas por $t_0=0,\alpha_0=1,\alpha_1=0$. La EDH asociada es \[ y''+4y=0, \] de la cual calculamos en el Ejemplo 9.2.6 un sistema fundamental de soluciones \[ \vn S=\sis{\cos2t,\sen2t}. \] Calculamos su matriz wronskiana \[ W(\vn S)=\matriz{cc}{ \cos2t&\sen2t\\ -2\sen2t&2\cos2t } \] y la evaluamos en $0$ para obtener \[ A=W(\vn S)(0)=\matriz{ll}{ 1&0\\ 0&2 } \] Resolvemos el sistema de ecuaciones lineales con matriz ampliada \[ \matriz{ll|l}{ 1&0&0\\ 0&2&1 } \] y obtenemos como solución \[ \ve{\beta_1,\beta_2}=\ve{0,\Frac{1}{2}}, \] Resolvemos el sistema de ecuaciones lineales con matriz ampliada \[ \matriz{ll|l}{ 1&0&\alpha_0\\ 0&2&\alpha_1 } = \matriz{ll|l}{ 1&0&1\\ 0&2&0 } \] cuya solución es \[ \ve{\gamma_1,\gamma_2}=\ve{1,0}. \] Tenemos que \[ g(t)=0\cdot\cos2t+\Frac{1}{2}\sen2t=\Frac{1}{2}\sen2t. \] La solución del problema de Cauchy es \begin{align*} \varphi(t)&=\gamma_1\cos2t+\gamma_2\sen2t\inte0t{g(t-s)b(s)}s \\ &= \cos2t+\inte0t{\Frac{1}{2}\sen2(t-s)\sen s}s \\ &= \cos2t+\barrow{s=0}{s=t}{\left(\Frac{1}{4}\sen(2t-s)-\Frac{1}{12}\sen(2t-3s)\right)} \\ &= \cos2t+\Frac{1}{3}\sen t-\Frac{1}{6}\sen2t \\ &= \cos2t+\Frac{1}{3}\sen t(1-\cos t). \end{align*}