Ejercicios Capítulo 4-2. Integrales triples

4.23
4.24
4.25
4.26
4.27
4.28
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4.41
4.42

Ejercicio 4.23

Calcular \[ \intet{T}{x}{x}{y}{z}, \] con \[ T=\con{\ve{x,y,z}\in\R^3}{x+z\leq1,z\geq0,y\geq0,x\geq y^2}. \]

Ejercicio 4.24

Sea $a\in\R$ con $a>0$. Calcular \[ \intet{T}{(x+y-2z)}{x}{y}{z}, \] con \[ D=\con{\ve{x,y,z}\in\R^3}{x^2+y^2+z^2\leq a^2}. \]

Ejercicio 4.25

Calcular \[ \intet{T}{y^2}{x}{y}{z}, \] con \[ T=\con{\ve{x,y,z}\in\R^3}{x^2+y^2+(z+1)^2\leq4,z\geq0}. \]

Ejercicio 4.26

Calcular \[ \intet{T}{z}{x}{y}{z}, \] con \[ T=\con{\ve{x,y,z}\in\R^3}{x\geq0,y\geq0,0\leq z\leq1-y^2,x+y\leq1}. \]

Ejercicio 4.27

Calcular \[ \intet{T}{\frac{1}{(x+y+z+1)^3}}{x}{y}{z}, \] con \[ T=\con{\ve{x,y,z}\in\R^3}{x\geq0,y\geq0,z\geq0,x+y+z\leq1}. \]

Ejercicio 4.28

Calcular \[ \intet{T}{x^2yz^3}{x}{y}{z}, \] donde $T$ es la región delimitada por las superficies $y^2=x-x^2$ y $z^2=4x$ junto con las condiciones $y\geq0$ y $z\geq0$.

Ejercicio 4.29

Calcular \[ \intet{T}{xyz}{x}{y}{z}, \] donde $T$ es el tetraedro limitado por los planos coordenados y el plano dado por la ecuación $x+y+z-1=0$.

Ejercicio 4.30

Calcular \[ \intet{T}{x^2}{x}{y}{z}, \] donde $T$ es la esfera de centro $\ve{0,0,0}$ y radio $a>0$.

Ejercicio 4.31

Calcular el volumen de \[ D=\con{\ve{x,y,z}\in\R^3}{x^2+y^2\leq z^2,0\leq z\leq1}. \]

Ejercicio 4.32

Sean $a>0$, $b>0$. Calcular el volumen del cuerpo \[ \con{\ve{x,y,z}\in\R^3}{bz\leq a-y^2,bz\leq a-x^2,z\geq0}. \]

Ejercicio 4.33

Calcular el volumen de la figura \[ D=\con{\ve{x,y,z}\in\R^3}{0\leq z\leq2\pi,x^2+y^2\leq\sen^2z} \]

Ejercicio 4.34

Sea $a>0$. Calcular el volumen de la región comprendida entre los cilindros \[ x^2+y^2\leq a^2,\;x^2+z^2\leq a^2. \]

Ejercicio 4.35

Sea $a>0$. Calcular el volumen de la figura \[ x^2+y^2+z^2\leq a^2,\;x^2+y^2\leq ay. \]

Ejercicio 4.36

Calcular el volumen de un elipsoide con semiejes de longitudes $a,b,c$.

Ejercicio 4.37

Calcular el volumen del cuerpo limitado por los paraboloides \[ y^2+z^2=4(x+9),\;y^2+z^2=6(6-x). \]

Ejercicio 4.38

Sea $a$ un número real con $a>0$. Hallar el volumen del sólido limitado por el paraboloide $2az=x^2+y^2$ y la esfera $x^2+y^2+z^2=3a^2$.

Ejercicio 4.39

Calcular el volumen del recinto de $\R^3$ limitado por \[ z=0,\;x^2+y^2+(z-1)^2=1,\;x^2+y^2=1. \]

Ejercicio 4.40

Sean $a>0$ y $b>0$, $c,d\in\R$. Calcular el volumen del cuerpo limitado por las superficies \[ (x-c)^2+(y-d)^2=a^2,\;x^2+y^2=2bz,\;z=0. \]

Ejercicio 4.41

Calcular el volumen de la figura limitada por las superficies \[ z=x^2,\;z=4-y^2, \] en el primer octante de $\R^3$.

Ejercicio 4.42

Calcular el volumen de la figura limitada por las superficies \[ z=x^2+y^2,\;z=2+2x+2y. \]

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