Ejercicios Capítulo 4-1. Integrales dobles

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4.22

Ejercicio 4.1

Calcular \[ \inted{D}{x}{x}{y}, \] donde $D$ es la región de $\R^2$ limitada por el eje $OX$ y las circunferencias de radio 1 y centros $\ve{-1,1}$ y $\ve{1,1}$.

Ejercicio 4.2

Calcular \[ \inted{D}{y}{x}{y}, \] con \[ D=\con{\ve{x,y}\in\R^2}{x^2+y^2\leq 2,0\leq y\leq x^2}. \]

Ejercicio 4.3

Calcular \[ \inted{D}{\vas{x^2-4y+1}}{x}{y}, \] con \[ D=\con{\ve{x,y}\in\R^2}{y\geq0,x^2+y^2\leq4}. \]

Ejercicio 4.4

Sean $a,b,c,d\in\R$ con $a< b$ y $c< d$. Calcular \[ \inted{D}{(x^2+y^2+xy)}{x}{y}, \] con \[ D=\con{\ve{x,y}\in\R^2}{a\leq x\leq b,c\leq y\leq d}. \]

Ejercicio 4.5

Sean $a,b\in\R$ ambos mayores que cero. Calcular el valor de \[ \inted{D}{xy}{x}{y}, \] con \[ D=\con{\ve{x,y}\in\R^2}{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\leq1,0\leq y,0\leq x}. \]

Ejercicio 4.6

Sean $r,R\in\R$ con $0< r< R$. Calcular \[ \inted{D}{x\sen y}{x}{y}, \] donde $D$ es la parte comprendida en el primer cuadrante de $\R^2$ de la corona circular centrada en $\ve{0,0}$ de radios $r$ y $R$.

Ejercicio 4.7

Calcular \[ \inted{D}{\Frac{xy}{1+x^2+y^2}}{x}{y}, \] con \[ D=\con{\ve{x,y}\in\R^2}{x^2+y^2\geq 1,0\leq x\leq1,0\leq y\leq 1}. \]

Ejercicio 4.8

Sea $a\in\R$ con $a>0$. Sea $D$ el círculo de centro $\ve{0,0}$ y radio $a$. Calcular \[ \inted{D}{e^{x^2+y^2}}{x}{y}, \]

Ejercicio 4.9

Sean $a>0$ y $b>0$. Calcular \[ \inted{D}{(x^2+y^2)}{x}{y}, \] con \[ D=\con{\ve{x,y}\in\R^2}{x\leq a,y^2-2bx\leq0}. \]

Ejercicio 4.10

Sean $a>0$ y $b>0$. Calcular \[ \inted{D}{(x^2-y^2)}{x}{y}, \] donde $D$ es la región limitada por la elipse centrada en $\ve{0,0}$ con ejes sobre los ejes coordenados y longitudes $a$ y $b$ para los semiejes horizontal y vertical respectivamente

Ejercicio 4.11

Calcular \[ \inted{D}{xe^{-x^2/y}}{x}{y}, \] con \[ D=\con{\ve{x,y}\in\R^2}{x\geq0,1\leq y\leq2,y\geq x^2}. \]

Ejercicio 4.12

Calcular \[ \inted{D}{\vas{x-y}}{x}{y}, \] con \[ D=[-1,1]\times[-1,1]. \]

Ejercicio 4.13

Calcular \[ \inted{D}{\sen\frac{y^3+1}{2}}{x}{y}, \] con \[ D=\con{\ve{x,y}\in\R^2}{\sqrt x\leq y\leq1,0\leq x\leq1}. \]

Ejercicio 4.14

Calcular \[ \inte{0}{2}{\inte{x/2}{1}{e^{-y^2}}{y}}{x}. \]

Ejercicio 4.15

Sea \[ \funciontrozos{f(t)}{% \caso{\Frac{\sen t}{t}}{t\neq0} \caso{1}{t=0}} \] Calcular \[ \inte{0}{1}{\inte{x}{1}{f(t)}{t}}{x}. \]

Ejercicio 4.16

Utilizando integrales múltiples, calcular el área del círculo de radio $r>0$.

Ejercicio 4.17

Calcular el área de \[ D=\con{\ve{x,y}\in\R^2}{(x^2+y^2)^2\leq 2xy,x\geq0}. \]

Ejercicio 4.18

Calcular el volumen del cuerpo limitado por la gráfica de \[ f(x,y)=e^x\cos y, \] sobre el triángulo de vértices $\ve{0,0}$, $\ve{1,0}$, y $\ve{0,\pi/2}$.

Ejercicio 4.19

Calcular el volumen del cuerpo limitado superiormente por la superficie $z=xye^{x+y}$ que está sobre el triángulo determinado, en el plano $z=0$, por las rectas $y=0$, $y=x$ e $y=2-x$.

Ejercicio 4.20

Calcular el volumen del cuerpo limitado por el grafo de \[ f(x,y)=x^2+y+1, \] sobre el triángulo de vértices $\ve{0,0,0}$, $\ve{1,0,0}$, y $\ve{0,1/2,0}$.

Ejercicio 4.21

Calcular el volumen del cuerpo limitado por el grafo de \[ f(x,y)=x^3+y^3, \] sobre el triángulo de vértices $\ve{0,0,0}$, $\ve{1,0,0}$, y $\ve{0,1,0}$.

Ejercicio 4.22

Calcular el volumen del cuerpo limitado por las superficies \[ z=x^2+y^2,\;y=x^2,\;y=1,\;z=0, \] utilizando una integral doble.

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