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Calcular los extremos absolutos de $f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-2z-1$ en el conjunto \[ \con{\ve{x,y,z}\in\R^3}{4x^2+y^2\leq4,\;0\leq z\leq2}. \]
Calcular los extremos absolutos de $f(x,y)=x(y+1)$ en el conjunto \[ \con{\ve{x,y}\in\R^2}{x^2+y^2\leq1}. \]
Calcular los extremos absolutos de $f(x,y,z)=2x^2+y^2+z^2-xy$ en el conjunto \[ \con{\ve{x,y,z}\in\R^3}{4x^2+2y^2+z^2\leq8}. \]
Calcular los extremos absolutos de \[ f(x,y)=-\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}} \] en el conjunto \[ \con{\ve{x,y}\in\R^2}{(x-5)^2+y^2=1}. \]
Sea $s>0$ Expresar $s$ como la suma de tres números $a,b,c>0$ de forma que $abc$ sea máximo.
Un alambre de longitud $L$ se corta en dos trozos de longitudes $a$ y $b$. Con un trozo se hace una cuadrado y con el otro una circunferencia. ¿Cómo ha de cortarse el alambre para que la suma de las áreas de las dos figuras sea máxima? ¿Y para que sea mínima?
Hallar la longitud de los lados del triángulo isósceles de perímetro 1 que tiene área máxima.
Calcular las distancias máxima y mínima de la elipse \[ 5x^2+6xy+5y^2=8, \] al punto $(0,0)$.
Calcular los puntos de la intersección de esfera de centro $\ve{0,0,0}$ y radio 1 con el plano $x+y+z=1$ cuya distancia a $\ve{0,3,3}$ sea máxima y mínima.
El beneficio anual de una empresa es \[ B(x,y)=6-6x-y^2, \] con $x,y\in\R$ parámetros económicos que verifican $x^2+y^2=1$. Determinar los valores de $x,y$ para que el beneficio sea máximo.
Se descubre un planeta esférico de radio $6$. La fuerza de su campo magnético es $M(x,y,z)=6x-y^2+xz+60$ en un sistema coordenado fijo centrado en el centro del planeta. Calcular el lugar de la superficie del planeta donde situar un radiotelescopio para que sufra la menor interferencia magnética posible.
La cilindrada de un motor de explosión es $n\pi x^2y/4$, siendo $n$ el número de cilindros, $x$ el diámetro e $y$ la carrera. Se quiere desarrollar una nueva familia de motores de 6 cilindros y 2430 cm$^3$, cuyo par motor máximo viene dado por \[ 23+\cos\left(\frac{\pi yx^2(x-1)}{1620}\right). \] Por razones constructivas, los cilindros deberán tener un diámetro mayor o igual que $2\pi$ y una carrera mayor o igual que $180\pi^{-3}$. Determinar el valor del diámetro para que el motor proporcione un par máximo lo más elevado posible.
Se dice que en una ocasión durante la Primera Edad, encontrándose en Doriath, Beren, hijo de Barahir, decidió visitar al rey Thingol para intentar aclarar lo suyo con Lúthien. Thingol vivía en Menegroth a orillas del río Esgalduin, en el corazón del bosque de Doriath. Accedíase a Menegroth a través de una senda rectilínea que atravesaba Doriath, la cual distaba 20 km del lugar en el que se encontraba Beren. Si Beren se dirigiese directamente hacia la senda, por el camino más corto, al alcanzarla todavía se encontraría a 50 km de Menegroth. La velocidad que Beren podía alcanzar en el interior del bosque era de 9 km/h, mientras que por la senda podría desplazarse a 15 km/h. Por lo tanto ¿qué trayectoria debería seguir Beren para lograr entrevistarse con Thingol lo antes posible?
El hangar de carga número 2 de la nave interplanetaria Coriolanus era un cubo de 12 metros de lado. Antes de la catástrofe, Momssen, comandante de la Coriolanus, decidió construir un depósito con el fin de almacenar parte del cemento repara-fugas del reactor principal. El depósito tenía una capacidad de 2 m$^3$, con forma de prisma triangular y se realizó soldando una placa rectangular de metal a uno de los rincones del hangar. Teniendo en cuenta que fue construido empleando la menor superficie posible de metal, ¿cuáles eran las dimensiones de la placa metálica?
Una placa cuya forma viene dada por los puntos $(x,y)$ tales que $x^2+y^2\leq1$ presenta en cada punto una distribución de temperaturas dada por $t(x,y)=x^2+2y^2-x$. Ver cuáles son lo puntos más calientes o fríos de la placa y obtener la temperatura en cada uno de ellos.
Probar que si $-4\leq x\leq0$ y $-3\leq y\leq1$, entonces \[ -11\leq x^2+2xy-y^2+4x\leq 15. \]
Una sala tiene forma de media esfera de radio 4 y su distribución de temperaturas en $^{\circ}$C es \[ T(x,y,z)=\frac{1}{8}(x^2+2y^2+z^2-xz+A), \] donde $A>0$ es un parámetro del sistema de calefacción. Calcular el valor de $A$ para que la temperatura en cualquier punto de la sala no sea inferior a~18~$^{\circ}$C ni superior a~22~$^{\circ}$C. El sistema de coordenadas tiene su centro en el centro del suelo de la sala.
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