Ejercicios Capítulo 3-3. Regla de la cadena y Cambio de variable

Ejercicio 3.12

Sean \[ \vn g(x,y,z)=\ve{\sen(xy+z),\left(1+x^2\right)^{yz}}, \] y \[ \vn f(u,v)=\ve{u+e^v,v+e^u}. \]

1. Probar que $\vn g$ es diferenciable en $\ve{1,-1,1}$ y calcular $\jac{\vn g}(1,-1,1)$.


2. Probar que $\vn f$ es diferenciable en $\ve{0,1/2}$ y calcular $\jac{\vn f}(0,1/2)$.


3. Calcular $\jac{(\vn f\circ\vn g)}(1,-1,1)$.

Ejercicio 3.13

Realizar el cambio de variables polares centradas en $(0,0)$ \[ \begin{cases} x=\rho\cos\theta\\ y=\rho\sen\theta \end{cases} \] con $\rho\in(0,\infty)$ y $\theta\in[0,2\pi)$, al sistema de ecuaciones en derivadas parciales \[ \begin{cases} \displaystyle y\parcial{f}{x}-x\parcial{f}{y}=1 \\[0.5cm] \displaystyle x\parcial{f}{x}+y\parcial{f}{y}=x^2+y^2 \end{cases} \]

Ejercicio 3.14

Transformar \[ x^2\parcial{z}{x}+y^2\parcial{z}{y}=z^2, \] haciendo el cambio de variables independientes \[ u=x,\;v=\frac{1}{y}-\frac{1}{x}. \]

Ejercicio 3.15

Transformar \[ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=a^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}, \] con $a\neq0$ haciendo el cambio de variables independientes \[ \alpha=x-at,\;\beta=x+at. \]

Ejercicio 3.16

Transformar \[ x^2\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+y^2\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}+ x\parcial{f}{x}+y\parcial{f}{y}=0, \] haciendo el cambio de variables independientes \[ x=e^u,\;y=e^v, \] con $x>0$, $y>0$.

Ejercicio 3.17

Transformar \[ x^2\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+y^2\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=0, \] haciendo el cambio de variables independientes \[ u=\frac xy,\;v=xy. \]