Ejercicios Capítulo 3-1. Derivabilidad y Diferenciabilidad

Ejercicio 3.1

Calcular las derivadas parciales de \[ f(x,y,z)=x^2\sen(y+2z), \] en $\ve{3,\pi,0}$.

1. Utilizando la definición.
2. Utilizando las reglas automáticas de derivación y evaluando.

Ejercicio 3.2

Calcular la expresión de todas las derivadas parciales de \[ f(x,y,z)=e^{x+y}\sen(xy)+zx^2y, \] hasta orden $3$, si es posible y especificar el dominio de cada función obtenida.

Ejercicio 3.3

En los siguientes casos, calcular $\jac{\vn f}$ y decir dónde es válida su expresión. Calcular $\jac{\vn f}(\vn a)$. En los casos en los que tenga sentido, calcular el jacobiano de $\vn f$ en $\vn a$. También cuando tenga sentido, calcular $\grad{f}$ y $\grad{f}(\vn a)$.

1. $\vn f(x,y,z)=\ve{x^2\sen(y+2z),ye^x}$, $\vn a=\ve{3,\pi,0}$.


2. $\vn f(x,y)=\ve{x^2\sen y,ye^x}$, $\vn a=\ve{3,\pi}$.


3. $f(x,y)=y^2+e^y\arctg x$, $\vn a=\ve{1,0}$.


4. $f(x,y,z)=e^{x+y}\sen(xy)+zx^2y$, $\vn a=\ve{\pi/2,1/2,1}$.


5. $f(x,y)=\log(x+y)$, $\vn a=\ve{1,1}$.


6. $f(x,y)=x^3+y^2+xy^2$, $\vn a=\ve{1,2}$.


7. $\vn f(x,y,z)=\ve{e^x,\sen(x+y),e^z}$, $\vn a=\ve{0,0,0}$.


8. $f(x,y)=y+x^2+\tg(xy)+\inte{0}{\sen(x^2+y^2)}{e^{-t^2}}{t}$, $\vn a=\ve{0,0}$.


9. $\vn f(x,y,z)=\ve{x^3+3xy^2-15x-12y,(x+z^2)e^{x(y^2+z^2+1)}}$, $\vn a=\ve{0,1,1}$.


10. $\vn f(x,y,z)=\ve{x\log x+y\log y+z\log z,\log x+\log y+3\log z, x^2+y^2+z^2}$,
    $\vn a=\ve{e,1/e,e^2}$.

Ejercicio 3.4

Para cada función $\vn f$ estudiar su continuidad, diferenciabilidad y la existencia y continuidad de sus derivadas parciales en los lugares indicados.

1. $\displaystyle\funciontrozos{f(x,y)}{% \caso{\Frac{xy^2}{x^2+y^4}}{\ve{x,y}\neq\ve{0,0}} \caso{0}{\ve{x,y}=\ve{0,0}} }$,
   en $\ve{0,0}$.


2. $f(x,y,z)=ye^{xy}+z$, en $\R^3$.


3. $\displaystyle\funciontrozos{f(x,y)}{ \caso{\Frac{x^3y^4}{x^2+y^2}}{\ve{x,y}\neq\ve{0,0}} \caso{0}{\ve{x,y}=\ve{0,0}} }$,
   en $\ve{0,0}$.


4. $\displaystyle\funciontrozos{f(x,y)}{ \caso{(x^2+y^2)\sen\Frac{1}{x^2+y^2}}{\ve{x,y}\neq\ve{0,0}} \caso{0}{\ve{x,y}=\ve{0,0}} }$,
   en $\ve{0,0}$.


5. $\displaystyle\funciontrozos{f(x,y)}{ \caso{xy\Frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}}{\ve{x,y}\neq\ve{0,0}} \caso{0}{\ve{x,y}=\ve{0,0}} }$,
   en $\ve{0,0}$. En este caso, calcular además, si es posible \[ \frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}(0,0),\; \frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}(0,0),\; \]


6. $\displaystyle\funciontrozos{f(x,y)}{ \caso{\Frac{x}{x^2+y^2}\sen x}{\ve{x,y}\neq\ve{0,0}} \caso{0}{\ve{x,y}=\ve{0,0}} }$,
   en $\ve{0,0}$.


7. $\displaystyle\funciontrozos{f(x,y)}{ \caso{\Frac{x\vas y}{\norma{\ve{x,y}}}}{\ve{x,y}\neq\ve{0,0}} \caso{0}{\ve{x,y}=\ve{0,0}} }$,
   en $\ve{0,0}$.


8. $\displaystyle\funciontrozos{\vn f(x,y)}{ \caso{\ve{e^{x+y},\sen(x-y),x^2\sen(1/x)}}{x\neq0} \caso{\ve{e^y,-\sen y,0}}{x=0} }$,
   en $\ve{0,0}$.


9. $\displaystyle\funciontrozos{\vn f(x,y,z)}{ \caso{\ve{\cos(yz),xyz,1/z}}{z\neq0} \caso{\ve{1,0,0}}{z=0} }$,
   en $\ve{0,0,0}$.


10. $\displaystyle\funciontrozos{f(x,y)}{ \caso{\Frac{(xy)^{4/3}}{(x^2+y^2)^{\alpha}}}{\ve{x,y}\neq\ve{0,0}} \caso{0}{\ve{x,y}=\ve{0,0}} }$,
    en $\R^2$, donde $\alpha\in\R$.


11. $\displaystyle\funciontrozos{f(x,y)}{ \caso{(x+y)^n\sen\Frac{1}{\norma{\ve{x,y}}}}{\ve{x,y}\neq\ve{0,0}} \caso{0}{\ve{x,y}=\ve{0,0}} }$,
    en $\ve{0,0}$, donde $n\in\N$.


12. $\displaystyle\funciontrozos{f(x,y)}{ \caso{(x^2+y^2)\sen\Frac{1}{\norma{\ve{x,y}}}}{\ve{x,y}\neq\ve{0,0}} \caso{0}{\ve{x,y}=\ve{0,0}} }$,
    en $\ve{0,0}$.


13. $\displaystyle\funciontrozos{f(x,y)}{ \caso{xy\sen\Frac{1}{x^2+y^2}}{\ve{x,y}\neq\ve{0,0}} \caso{0}{\ve{x,y}=\ve{0,0}} }$,
    en $\ve{0,0}$.


14. $\displaystyle\funciontrozos{f(x,y)}{ \caso{\Frac{x^2\vas y}{\norma{\ve{x,y}}}}{% y\geq -x,\,\ve{x,y}\neq\ve{0,0}} \caso{\Frac{xy}{2}\sen\Frac{1}{\norma{\ve{x,y}}}}{y<-x} \caso{0}{\ve{x,y}=\ve{0,0}} }$,
    en $\ve{0,0}$.


15. $f(x,y)=\sqrt{\vas{xy}}$ en $\ve{0,0}$.


16. $\displaystyle\funciontrozos{f(x,y)}{ \caso{\Frac{\sen^2(x+y)}{x+y}}{x+y\neq0} \caso{0}{x+y=0} }$,
    en $\ve{0,0}$.


17. $\displaystyle\funciontrozos{f(x,y)}{ \caso{\Frac{x^2y}{x^2+y^2}}{\ve{x,y}\neq\ve{0,0}} \caso{0}{\ve{x,y}=\ve{0,0}} }$,
    en $\ve{0,0}$.

Ejercicio 3.5

Escribir, si es posible, la ecuación de la recta tangente a la figuras siguientes en los puntos indicados.

1. $\con{\ve{x,y}\in\R^2}{2x+3y=0}$, en $\ve{3,-2}$.


2. $\con{\ve{x,y}\in\R^2}{2x^2+3y^2=1}$, en $\ve{1/\sqrt{2},0}$ y en $\ve{1/3,\sqrt{7}/(3\sqrt{3})}$.


3. $\con{\ve{x,y}\in\R^2}{2x^2-3y^2=1}$, en $\ve{1/\sqrt{2},0}$ y en $\ve{1,1/\sqrt{3}}$.


4. $\con{\ve{x,y}\in\R^2}{2x^2-3y^2=0}$, en $\ve{\sqrt{3},\sqrt{2}}$ y en $\ve{0,0}$.


5. $\con{\ve{x,y}\in\R^2}{y-2x^2=0}$, en $\ve{0,0}$ y en $\ve{1,2}$.


6. $\con{\ve{x,y}\in\R^2}{y^2+3x=0}$, en $\ve{0,0}$ y en $\ve{-3,3}$.


7. $\con{\ve{x,y}\in\R^2}{(x+1)^2+(y-1)^2=9}$, en $\ve{2,1}$, en $\ve{0,1+\sqrt{8}}$ y en $\ve{-1,4}$.


8. $\con{\ve{x,y}\in\R^2}{x^2+y^2-4(x+y)=-4}$, en $\ve{2-\sqrt{3},1}$ y en $\ve{0,2}$.


9. $\con{\ve{x,y}\in\R^2}{4x^2+y^2-8x-4y=-4}$, en $\ve{0,2}$ y en $\ve{1,0}$.


10. $\con{\ve{x,y}\in\R^2}{x+2=4y^2}$, en $\ve{-2,0}$ y en $\ve{2,-1}$.

Ejercicio 3.6

Escribir, si es posible, la ecuación del plano tangente a la figuras siguientes en los puntos indicados.

1. $\con{\ve{x,y,z}\in\R^3}{2x+y-z=1}$, en $\ve{1,-1,0}$.


2. $\con{\ve{x,y,z}\in\R^3}{z=x^2+2y^2}$, en $\ve{1,2,9}$ y en $\ve{0,0,0}$.


3. $\con{\ve{x,y,z}\in\R^3}{x^2+y^2+z^2=16}$, en $\ve{0,4,0}$ y en $\ve{2,2,2\sqrt{2}}$.


4. $\con{\ve{x,y,z}\in\R^3}{(x-1)^2+2(y-1)^2+4(z-2)^2=16}$, en $\ve{3,1+\sqrt{6},2}$\\ y en $\ve{1,1,4}$.


5. $\con{\ve{x,y,z}\in\R^3}{x^2+y^2-z^2=1}$, en $\ve{1/\sqrt{2},1/\sqrt{2},0}$ y en $\ve{\sqrt{3},\sqrt{2},2}$.


6. $\con{\ve{x,y,z}\in\R^3}{x^2+y^2=16}$, en $\ve{3,\sqrt{7},0}$ y en $\ve{3,\sqrt{7},3}$.


7. $\con{\ve{x,y,z}\in\R^3}{x^2+y^2-z^2=0}$, en $\ve{1/\sqrt{2},1/\sqrt{2},1}$ y en $\ve{0,0,0}$.


8. $\con{\ve{x,y,z}\in\R^3}{x^2-y^2-z=0}$, en $\ve{1,1,0}$, en $\ve{2,1,3}$ y en $\ve{0,0,0}$.


9. $\con{\ve{x,y,z}\in\R^3}{z^2-x^2-y^2=1}$, en $\ve{1,0,0}$, en $\ve{-1,0,0}$ y en $\ve{2,2,3}$.

Ejercicio 3.7

Calcular la recta o plano tangente, según proceda, al soporte de las siguientes funciones en los puntos indicados.

1. $\vn f(t)=\ve{2\cos t,\sen t},\;t\in (0,6\pi)$,
   en $t=\pi$ y en $t=\frac{3\pi}{4}.$


2. $\vn f(t)=\ve{\ch t,\sh t},\;t\in (-1,1)$,
   en $t=0$.


3. $\vn f(t)=\ve{t^2,t^3},\;t\in\R$,
   en $t=-1$ y en $t=1$.


4. $\vn f(t)=\ve{t,2t},\;t\in\R$,
   en $t=0$, en $t=1$, y en $t=2$.


5. $\vn f(t)=\ve{t,0},\;t\in\R$,
   en $t=1$ y en $t=2$.


6. $\vn f(t)=\ve{1,t},\;t\in\R$,
   en $t=1$ y en $t=2$.


7. $\vn f(t)=\ve{\sen 3t,\cos 3t, t},\;t\in (0,6\pi)$,
   en $t=\pi$ y en $t=\frac{\pi}{4}.$


8. $\vn f(s,t)=\ve{s,t,\cos s+\sin t},\;s,t\in (-2\pi,2\pi)$,
   en $(s,t)=(\pi,\pi/2)$ y en $(s,t)=(\pi/3,\pi/4)$.

Ejercicio 3.8

Calcular la recta o plano tangente, según proceda, al grafo de las siguientes funciones en los puntos indicados.

1. $f(x,y)=x^2-y^2$,
   en $\ve{x,y}=\ve{1,2}$.


2. $f(x,y)=x+y,\;\ve{x,y}\in \con{\ve{x,y}\in\R^2}{0< x<1,\;0< y<1-x}$,
   en $\ve{x,y}=\ve{1/2,1/3}$.


3. $f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2-1},\;\ve{x,y}\in\bolaa{\ve}{0,0}{1}$,
   en $\ve{x,y}=\ve{1/2,1/4}$.


4. $f(x,y)=e^x\cos y$ definida sobre el triángulo de vértices $\ve{0,0}$, $\ve{1,0}$, $\ve{0,\pi/2}$,
   en $\ve{x,y}=\ve{1/2,\pi/4}$.


5. $f(x,y)=2\sqrt{x},\;\ve{x,y}\in \con{\ve{x,y}\in\R^2}{x>0}$,
   en $\ve{x,y}=\ve{1,0}$.


6. $\vn f(z)=\ve{2\cos z,\sen z},\;z\in (0,6\pi)$,
   en $z=\pi$ y en $z=\frac{3\pi}{4}.$



7. $\vn f(z)=\ve{\ch z,\sh z},\;z\in\R$,
   en $z=0$.


8. $\vn f(z)=\ve{z^2,z^3},\;z\in\R$,
   en $z=-1$ y en $z=1$.


9. $\vn f(z)=\ve{z,2z},\;z\in\R$,
   en $z=0$, en $z=1$, y en $z=2$.


10. $\vn f(z)=\ve{z,0},\;z\in\R$,
    en $z=1$ y en $z=2$.


11. $\vn f(z)=\ve{1,z},\;z\in\R$,
    en $z=1$ y en $z=2$.