Ejercicios Capítulo 2. Continuidad y límites

2.1
2.2
2.3

Ejercicio 2.1

Utilizando las propiedades básicas de continuidad, estudiar dónde se puede decir directamente que las siguientes funciones son continuas.

$f(x,y)=xy$.

$\vn f(x)=\ve{x^2,-x,2,\log x}$.

$\vn f(x,y,z,t)=\ve{x^2-t+2y,z^2\sqrt{1-xy}\cos t}$.

$\vn f(x_1,x_2,x_3)=\ve{2,1}$.

$f(r,s,t)=\log(1-r^2)\log(s^2+t^2)$.

$\vn f(h,k)=\ve{h-k,k-h,k,1,h^3,\tan k}$.

$\displaystyle\funciontrozos{\vn f(x,y)}{% \caso{\ve{\Frac{x^2(2+y)+2y^2}{x^2+y^2},\sen(x+y)}}{% \ve{x,y}\neq\ve{0,0}} \caso{\ve{2,0}}{\ve{x,y}=\ve{0,0}} }$.

$\displaystyle\funciontrozos{f(x,y)}{% \caso{\Frac{x-y}{x+y}}{y\neq -x} \caso{0}{y=-x} }$.

$f(x)=x^2$.

$\vn f(x,y)=\ve{y/x,x/y}$.

$\vn f(x,y,z,t,s)=\ve{t-1,0}$.

$\vn f(x,y,z)=\ve{y,z,x}$.

Ejercicio 2.2

Estudiar el límite en $(0,0)$ de las siguientes funciones

$\displaystyle\funciontrozos{f(x,y)}{% \caso{\Frac{xy}{x^2+y^2}}{\ve{x,y}\neq\ve{0,0}} \caso{0}{\ve{x,y}=\ve{0,0}} }$.

$\displaystyle\funciontrozos{f(x,y)}{% \caso{\Frac{x-y}{x+y}}{y\neq -x} \caso{0}{y=-x} }$.

$\displaystyle\funciontrozos{f(x,y)}{% \caso{\Frac{xy^2}{x^2+y^4}}{\ve{x,y}\neq\ve{0,0}} \caso{0}{\ve{x,y}=\ve{0,0}} }$.

$\displaystyle\funciontrozos{f(x,y)}{% \caso{\Frac{x^2+y^2}{x^2+y}}{y\neq-x^2} \caso{0}{y=-x^2} }$.

$\displaystyle\funciontrozos{f(x,y)}{% \caso{\Frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}}{\ve{x,y}\neq\ve{0,0}} \caso{0}{\ve{x,y}=\ve{0,0}} }$.

$\displaystyle\funciontrozos{f(x,y)}{% \caso{x\sen(x/y)}{y\neq0} \caso{x}{y=0} }$.

$\displaystyle\funciontrozos{f(x,y)}{% \caso{\Frac{y}{y+x^2}}{y\neq-x^2} \caso{1}{y=-x^2} }$.

Ejercicio 2.3

Estudiar la continuidad de

$\displaystyle \funciontrozos{\vn f(x,y)}{% \caso{\ve{\Frac{x^2(2+y)+2y^2}{x^2+y^2},\sen(x+y)}}{% \ve{x,y}\neq\ve{0,0}} \caso{\ve{2,0}}{\ve{x,y}=\ve{0,0}} }$.

$\displaystyle \funciontrozos{f(x,y)}{% \caso{\Frac{x^2y^2}{x^2y^2+(x-y)^2}}{\ve{x,y}\neq\ve{0,0}} \caso{1}{\ve{x,y}=\ve{0,0}} }$.

$\displaystyle \funciontrozos{f(x,y,z)}{% \caso{\Frac{2x-y+z-2}{x+y-z-1}}{x+y-z-1\neq0} \caso{0}{x+y-z-1=0} }$.

$\displaystyle \funciontrozos{f(x,y)}{% \caso{\Frac{y}{x}\sen(x^2+y^2)}{x\neq0} \caso{0}{x=0} }$.

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Modificado el jueves 19 de febrero de 2026 a las 20:51.
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