Ejercicios Capítulo 1. Introducción

1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1.10
1.11
1.12

Ejercicio 1.1

Representar en $\R^2$ los puntos siguientes

$\ve{1,0}$
$\ve{0,1}$
$\ve{-1,0}$
$\ve{0,-1}$
$\ve{1,1}$
$\ve{1,-1}$
$\ve{-1,1}$
$\ve{1,2}$
$\ve{2,1}$
$\ve{-2,3}$
$\ve{4,-5}$
$\ve{-1/2,-3}$

Ejercicio 1.2

Representar en $\R^3$ los puntos siguientes

$\ve{1,0,0,}$
$\ve{0,1,0}$
$\ve{0,0,1}$
$\ve{-1,0,0}$
$\ve{0,-1,0}$
$\ve{0,0,-1}$
$\ve{1,1,1}$
$\ve{-1,1,1}$
$\ve{1,-1,1}$
$\ve{1,1,-1}$
$\ve{-1,-1,1}$
$\ve{-1,1,-1}$
$\ve{1,-1,-1}$
$\ve{-1,-1,-1}$
$\ve{2,1,0}$
$\ve{1,0,-2}$
$\ve{0,2,-3}$
$\ve{1,3,1}$
$\ve{-2,3,-4}$
$\ve{2,-1,3}$
$\ve{1,2,3}$
$\ve{2,2,1}$
$\ve{1/2,1/2,3/2}$
$\ve{-3,-2,-1}$

Ejercicio 1.3

Calcular la norma de los vectores siguientes

$\ve{1,0}$
$\ve{-1,1}$
$\ve{2,3}$
$\ve{-4,3}$
$\ve{1,0,1}$
$\ve{0,1,0}$
$\ve{-2,1,3}$
$\ve{1,1,1,1}$
$\ve{-1,2,3}$
$\ve{2,1,-4,5,1}$
$\ve{2,3,4}$
$\ve{-1,-1,-2,-2}$

Ejercicio 1.4

Representar gráficamente los siguientes conjuntos

$\bolac{\ve}{0,0}{1}$.

$\bolaa{\ve}{1,1}{2}$.

$\bolar{\ve}{-1,1}{1}$.

$\bolac{\ve}{2,4}{3}$.

$\bolaa{\ve}{0,0,0}{1}$.

$\bolac{\ve}{0,0,0}{1}$.

$\bolar{\ve}{0,0,0}{1}$.

$\bolaa{\ve}{-1,2,1}{2}$.

$\bolac{\ve}{1,2,4}{3}$.

Ejercicio 1.5

Calcular el derivado, la adherencia, el interior y la frontera de los siguientes conjuntos.

$\con{\ve{0,1/n}\in\R^2}{n\in\N}$.

$\con{\ve{x,x\sen(1/x)}\in\R^2}{x\in\R-\{0\}}$.

$\con{\ve{x,\sen(1/x)}\in\R^2}{x\in\R-\{0\}}$.

$\bolar{\ve}{1,1,1}{1}$.

Ejercicio 1.6

Representar gráficamente los siguientes conjuntos. Estudiar si son abiertos o cerrados. Calcular su adherencia, su interior, su derivado y su frontera. Estudiar si tienen puntos aislados. Estudiar si son acotados.

$\con{\ve{x,y}\in\R^2}{2x+3y=0}$.

$\con{\ve{x,y}\in\R^2}{2x+3y\leq0}$.

$\con{\ve{x,y}\in\R^2}{2x+3y>0}$.

$\con{\ve{x,y}\in\R^2}{x+y=0}$.

$\con{\ve{x,y}\in\R^2}{2x^2+3y^2=1}$.

$\con{\ve{x,y}\in\R^2}{2x^2+3y^2\leq1}$.

$\con{\ve{x,y}\in\R^2}{2x^2+3y^2\geq1}$.

$\con{\ve{x,y}\in\R^2}{2x^2-3y^2=1}$.

$\con{\ve{x,y}\in\R^2}{2x^2-3y^2>1}$.

$\con{\ve{x,y}\in\R^2}{2x^2-3y^2<0}$.

$\con{\ve{x,y}\in\R^2}{y-2x^2=0}$.

$\con{\ve{x,y}\in\R^2}{y^2+3x\leq0}$.

$\con{\ve{x,y}\in\R^2}{(x+1)^2+(y-1)^2=9}$.

$\con{\ve{x,y}\in\R^2}{x^2+y^2+2x-2y-7\leq0}$.

$\con{\ve{x,y}\in\R^2}{(x-1)^2+(y-2)^2\leq1}$.

$\con{\ve{x,y}\in\R^2}{x\geq0,\;y\geq0}$.

$\con{\ve{x,y}\in\R^2}{x>0,\;y>0}$.

$\con{\ve{x,y}\in\R^2}{x>0,\;y\geq0}$.

$\con{\ve{x,y}\in\R^2}{x+y=0,\;x\geq0}$.

$\con{\ve{x,y}\in\R^2}{x+y=0,\;x>0}$.

$\con{\ve{x,y}\in\R^2}{\vlist{% \vitem{x^2+y^2-4(x+y)\geq -4,} \vitem{y\geq0,} \vitem{y\leq x} }}$.

$\con{\ve{x,y}\in\R^2}{\vlist{% \vitem{x^2+y^2\geq1,} \vitem{x^2+4y^2\leq4} }}$.

$\con{\ve{x,y}\in\R^2}{\vlist{% \vitem{x^2+y^2\geq1,} \vitem{x^2>y} }}$.

$\con{\ve{x,y}\in\R^2}{\vlist{% \vitem{4x^2+y^2-4\leq0,} \vitem{4x^2+y^2-8x-4y\leq -4} }}$.

$\con{\ve{x,y}\in\R^2}{\vlist{% \vitem{x+2\geq4y^2,} \vitem{x-2\geq-4y^2} }}$.

$\con{\ve{x,y}\in\R^2}{\vlist{% \vitem{(x-1)^2+(y-1)^2\geq1,} \vitem{(x+1)^2+(y-1)^2\geq1,} \vitem{0\leq y\leq1} }}$.

$\con{\ve{x,y}\in\R^2}{\vlist{% \vitem{x\geq y^2,} \vitem{x^2+y^2\leq1} }}$.

$\con{\ve{x,y}\in\R^2}{\vlist{% \vitem{4x-y^2\geq0,} \vitem{4x^2-y^2\geq4} }}$.

$\con{\ve{x,y}\in\R^2}{\vlist{% \vitem{4x-y^2\geq0,} \vitem{3(x-1)-y^2\leq0} }}$.
$\con{\ve{x,y}\in\R^2}{\vlist{% \vitem{4x-y^2\geq0,} \vitem{5(x-1)-y^2\leq0} }}$.

Ejercicio 1.7

Representar gráficamente los siguientes conjuntos. Estudiar si son abiertos o cerrados. Calcular su adherencia, su interior, su derivado y su frontera. Estudiar si tienen puntos aislados. Estudiar si son acotados.

$\con{\ve{x,y,z}\in\R^3}{2x+y-z=1}$.

$\con{\ve{x,y,z}\in\R^3}{2x+y-z\leq1}$.

$\con{\ve{x,y,z}\in\R^3}{2x+y-z\geq1}$.

$\con{\ve{x,y,z}\in\R^3}{x^2+y^2+z^2=16}$.

$\con{\ve{x,y,z}\in\R^3}{x^2+y^2+z^2<16}$.

$\con{\ve{x,y,z}\in\R^3}{x^2+y^2+z^2\geq16}$.

$\con{\ve{x,y,z}\in\R^3}{(x-1)^2+2(y-1)^2+4(z-2)^2=16}$.

$\con{\ve{x,y,z}\in\R^3}{2x^2+y^2-z=0}$.

$\con{\ve{x,y,z}\in\R^3}{2x^2+y^2-z\leq0}$.

$\con{\ve{x,y,z}\in\R^3}{2x^2+y^2-z>0}$.

$\con{\ve{x,y,z}\in\R^3}{x^2+y^2-z^2=1}$.

$\con{\ve{x,y,z}\in\R^3}{x^2+y^2-z^2<1}$.

$\con{\ve{x,y,z}\in\R^3}{x^2+y^2-z^2\geq1}$.

$\con{\ve{x,y,z}\in\R^3}{x^2+y^2=16}$.

$\con{\ve{x,y,z}\in\R^3}{x^2+4z^2=16}$.

$\con{\ve{x,y,z}\in\R^3}{x^2+y^2-z^2=0}$.

$\con{\ve{x,y,z}\in\R^3}{x^2-y^2-z=0}$.

$\con{\ve{x,y,z}\in\R^3}{z^2-x^2-y^2=1}$.

$\con{\ve{x,y,z}\in\R^3}{2x^2+(y-1)^2+2z^2\leq1}$.

$\con{\ve{x,y,z}\in\R^3}{x\geq0,\;y\geq0,\;z\geq0}$.

$\con{\ve{x,y,z}\in\R^3}{\vlist{% \vitem{x\geq0,\;y\geq0,\;z\geq0,} \vitem{x+y+z\leq1} }}$.

$\con{\ve{x,y,z}\in\R^3}{\vlist{% \vitem{x^2+y^2-z^2\leq0,} \vitem{x^2+y^2+z^2\leq1} }}$.

$\con{\ve{x,y,z}\in\R^3}{x^2+y^2<1,\;0 < z < 1}$.

Ejercicio 1.8

Describir por medio de desigualdades el conjunto de puntos dentro del paralelepípedo de vértices \[ \ve{0,0,0},\,\ve{0,1,0},\,\ve{1,1,0},\,\ve{1,0,0},\, \ve{0,1,1},\,\ve{0,2,1},\,\ve{1,2,1},\,\ve{1,1,1}, \]

Incluyendo las caras.
Sin incluir las caras.

Ejercicio 1.9

Dar el número de variables, el número de componentes y el dominio de las funciones siguientes. Decir cuáles son de varias variables, cuáles escalares, cuáles vectoriales y cuáles constantes. Escribir sus componentes.

$f(x,y)=xy$.

$\vn f(x)=\ve{x^2,-x,2,\log x}$.

$\vn f(x,y,z,t)=\ve{x^2-t+2y,z^2\sqrt{1-xy}\cos t}$.

$\vn f(x_1,x_2,x_3)=\ve{2,1}$.

$f(r,s,t)=\log(1-r^2)\log(s^2+t^2)$.

$\vn f(h,k)=\ve{h-k,k-h,k,1,h^3,\tan k}$.

$\displaystyle\funciontrozos{\vn f(x,y)}{% \caso{\ve{\Frac{x^2(2+y)+2y^2}{x^2+y^2},\sen(x+y)}}{% \ve{x,y}\neq\ve{0,0}} \caso{\ve{2,0}}{\ve{x,y}=\ve{0,0}} }$.

$\displaystyle\funciontrozos{f(x,y)}{% \caso{\Frac{x-y}{x+y}}{y\neq -x} \caso{0}{y=-x} }$.

$f(x)=x^2$.

$\vn f(x,y)=(y/x,x/y)$.

$\vn f(x,y,z,t,s)=\ve{t-1,0}$.

$\vn f(x,y,z)=\ve{y,z,x}$.

Ejercicio 1.10

Escribir la expresión de $\vn (\vn g\circ\vn f)(x,y,z)$ donde \[ \begin{split} &\vn f(x,y,z)=\ve{e^x\cos y+z,2xz^2+y^3},\\ &\vn g(h,k)=\ve{h-k,kh^2}. \end{split} \]

Ejercicio 1.11

Representar gráficamente el soporte de las siguientes funciones

$\vn f(t)=\ve{2\cos t,\sen t}$, para $t\in [0,6\pi]$.

$\vn f(t)=\ve{\ch t,\sh t}$, para $t\in [0,1]$.

$\vn f(t)=\ve{t^2,t^3}$, para $t\in[-1,1]$.

$\vn f(t)=\ve{t,2t}$, para $t\in[0,1]$.

$\vn f(t)=\ve{t,0}$, para $t\in[0,1]$.

$\vn f(t)=\ve{1,t}$, para $t\in[0,1]$.

$\vn f(t)=\ve{\sen 3t,\cos 3t, t}$, para $t\in [0,6\pi]$

$\vn f(s,t)=\ve{s,t,\cos s+\sin t}$, para $s,t\in [-2\pi,2\pi]$.

Ejercicio 1.12

Representar gráficamente el grafo de las siguientes funciones

$f(x,y)=x^2-y^2$.

$f(x,y)=x+y$, $\ve{x,y}\in \con{\ve{x,y}\in\R^2}{0\leq x\leq1,\;0\leq y\leq1-x}$.

$f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2-1}$, $\ve{x,y}\in\bolaa{\ve}{0,0}{1}$.

$f(x,y)=e^x\cos y$ definida sobre el triángulo de vértices $\ve{0,0}$, $\ve{1,0}$, $\ve{0,\pi/2}$.

$f(x,y)=2\sqrt{x}$ definida en $\con{\ve{x,y}\in\R^2}{x\geq0}$.

$\vn f(z)=\ve{2\cos z,\sen z}$, para $z\in [0,6\pi]$.

$\vn f(z)=\ve{\ch z,\sh z}$, para $z\in [0,1]$.

$\vn f(z)=\ve{z^2,z^3}$, para $z\in[-1,1]$.

$\vn f(z)=\ve{z,2z}$, para $z\in[0,1]$.

$\vn f(z)=\ve{z,0}$, para $z\in[0,1]$.

$\vn f(z)=\ve{1,z}$, para $z\in[0,1]$.

Powered by: