9.1 Sistemas diferenciales lineales de coeficientes constantes

Un sistema diferencial lineal de coeficientes constantes (en lo sucesivo diremos simplemente sistema diferencial lineal o SDL) de tamaño $m\in\N$ es un sistema de EDO de la forma \begin{equation} \vn y'=\mat A\vn y+\vn b(t), \label{eq:lin:sdl:ecu} \end{equation} donde $t$ es la variable independiente, \begin{equation*} \vn y=\ve{y_1,\ldots,y_m}, \end{equation*} son las variables dependientes, \begin{equation*} \mat A=\matriz{lcl}{a_{11} & \cdots & a_{1m}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m1} & \cdots & a_{mm}}, \end{equation*} es una matriz de números reales $m\times m$ a la que llamaremos matriz del sistema y \begin{equation*} \vn b:\R\longrightarrow\R^m, \end{equation*} es una función vectorial de una variable y $m$ componentes a la llamaremos el término independiente..

Ejemplo 9.1.1 Consideremos el sistema de tamaño 3, \begin{equation*} \matriz{l}{y_1 \\ y_2 \\ y_3}' = \matriz{rrr}{ 1 & 0 & -2 \\ 1 & -1 & -4 \\ -1 & 0 & 0} \matriz{l}{y_1 \\ y_2 \\ y_3} + \matriz{c}{t^2-t \\[0.2cm] \Frac{1-t}{1+t} \\[0.4cm] te^t+1} \end{equation*}

Los problemas de Cauchy asociados a SDL son de la forma \begin{equation} \begin{cases} \vn y'=\mat A\vn y+\vn b(t) \\ \vn y(t_0)=\vn y_0, \end{cases} \label{eq:lin:sdl:pc} \end{equation} con $t_0\in\R$, $\vn y_0\in\R^m$.

Teorema 9.1.2 [Teorema de Picard]
Sean $I$ un intervalo abierto, $t_0\in I$, $\vn y_0\in\R^m$, $\mat A$ una matriz $m\times m$ de números reales y $\vn b:I\longrightarrow\R^m$ continua en $I$. Entonces el problema de Cauchy \begin{equation*} \begin{cases} \vn y'=\mat A\vn y+\vn b(t) \\ \vn y(t_0)=\vn y_0, \end{cases} \end{equation*} tiene una única solución definida en $I$.

En lo sucesivo supondremos que todos los SDL que aparezcan estarán en las condiciones del Teorema de Picard en algún intervalo abierto $I$.

9.1.1 Sistemas homogéneos

Los sistemas diferenciales homogéneos (SDH) son de la forma \begin{equation} \vn y'=\mat A\vn y, \label{eq:lin:sdl:hom} \end{equation} donde $\mat A$ es una matriz de números reales de tamaño $m\times m$ con $m\in\N$.
Es decir, un SDH es un SDL en el que el término independiente es $\vn 0$.

Lema 9.1.3 Todo SDH \eqref{eq:lin:sdl:hom} está en las condiciones del Teorema de Picard. Además, para cada $t_0\in\R$, la única solución del problema de Cauchy \begin{cases} \vn y'=\mat A\vn y\\ \vn y(t_0)=\vn 0, \end{cases} es $\vn y(t)=\vn 0,\forall t\in\R$.

Demostración:
Como en este caso $\vn b(t)$ es la función constantemente igual a $\vn 0$, es continua en todo $\R$, luego el intervalo $I$ que aparece en el Teorema de Picard es $\R$.
Es inmediato ver que $\vn y(t)=\vn 0$ es solución y por el Teorema de Picard ésta ha de ser la única definida en $\R$.

Teorema 9.1.4 Las soluciones de \eqref{eq:lin:sdl:hom} (definidas en $\R$), forman un $\R$-espacio vectorial de dimensión $m$.

Definición 9.1.5 Llamaremos sistema fundamental de soluciones de del SDH \eqref{eq:lin:sdl:hom} a toda base del espacio de soluciones de \eqref{eq:lin:sdl:hom}.

Nota 9.1.6 Dado un sistema de soluciones del SDH \eqref{eq:lin:sdl:hom} \[ \sis{\vn u_1(t),\ldots,\vn u_m(t)}, \] se tiene que dicho sistema es un sistema fundamental de soluciones de \eqref{eq:lin:sdl:hom} si y sólo si existe $t_0\in\R$ tal que el sistema de $\R^m$ \[ \sis{\vn u_1(t_0),\ldots,\vn u_m(t_0)} \] es una base de $\R^m$.

Definición 9.1.7 Una matriz fundamental de \eqref{eq:lin:sdl:hom} es una matriz $\mat\Phi(t)$ cuadrada $m\times m$ de funciones definidas en $I$ tal que sus columnas son un sistema fundamental de soluciones de \eqref{eq:lin:sdl:hom}.
Diremos además que es principal en un punto $t_0\in I$ si $\mat\Phi(t_0)=\mat I_m$.

Recordemos que $\mat I_m$ era la matriz identidad de orden $m$.

Proposición 9.1.8 Son equivalentes

1. $\mat\Phi(t)$ es una matriz fundamental de \eqref{eq:lin:sdl:hom}.
2. $\mat\Phi'(t)=\mat A\mat\Phi(t)$ y $\det\mat\Phi(t)\neq0,\forall t\in\R$.
3. $\mat\Phi'(t)=\mat A\mat\Phi(t)$ y $\det\mat\Phi(t_0)\neq0,\exists t_0\in\R$.

propiedades 9.1.9: Sea $\mat\Phi(t)$ una matriz fundamental de \eqref{eq:lin:sdl:hom}.

1. El conjunto de todas las matrices fundamentales de \eqref{eq:lin:sdl:hom} es \[ \con{\mat\Phi(t)\mat C}{\mat C\text{ es una matriz real $m\times m$ inversible}}. \]


2. $\mat\Phi(t)\mat\Phi^{-1}(t_0)$ es la matriz fundamental de \eqref{eq:lin:sdl:hom} principal en $t_0$, $\forall t_0\in\R$.


3. La solución del problema de Cauchy \begin{cases} \vn y'=\mat A\vn y \\ \vn y(t_0)=\vn y_0, \end{cases} es \[ \fres{y(t)=\mat\Phi(t)\mat\Phi^{-1}(t_0)\vn y_0}, \] $\forall t_0\in\R$, $\forall\vn y_0\in\R^m$.


4. La solución general de \eqref{eq:lin:sdl:hom} es \[ \fres{\vn y(t)=\mat\Phi(t)\vn c,\;\vn c\in\R^m}. \]

9.1.2 Sistemas no homogéneos

Sean $m\in\N$, $\mat A$ una matriz de números reales $m\times m$, $I$ un intervalo abierto y $\vn b:\R\longrightarrow\R^m$ continua en $I$. Consideremos el SDL \begin{equation} \vn y'=\mat A\vn y+\vn b(t), \label{eq:lin:sdl:nohom} \end{equation} que está en las condiciones del Teorema de Picard.

Supondremos además que $\vn b(t)\neq\vn 0$, en cuyo caso se dice que el sistema es no homogéneo.

Diremos que \begin{equation} \vn y'=\mat A\vn y, \label{eq:lin:sdl:nohom:hom} \end{equation} es el sistema homogéneo asociado a \eqref{eq:lin:sdl:nohom}.h claro que \eqref{eq:lin:sdl:nohom:hom} también está en las condiciones del Teorema de Picard en $I$ (de hecho lo está en todo $\R$).

Teorema 9.1.10 Si $\vn y_p(t)$ es una solución particular de \eqref{eq:lin:sdl:nohom} y $\mat\Phi(t)$ es una matriz fundamental del SDH asociado \eqref{eq:lin:sdl:nohom:hom}, entonces la solución general de \eqref{eq:lin:sdl:nohom} es \[ \vn y(t)=\vn y_p(t)+\mat\Phi(t)\vn c,\;\vn c\in\R^m. \]

Por lo tanto, para resolver el sistema no homogéneo \eqref{eq:lin:sdl:nohom} basta encontrar una matriz fundamental $\mat\Phi(t)$ del homogéneo \eqref{eq:lin:sdl:nohom:hom} y una solución particular de \eqref{eq:lin:sdl:nohom}. Veremos a continuación como la propia matriz fundamental $\mat\Phi(t)$ nos permitirá encontrar dicha solución particular.

Para ello, desarrollaremos el llamado método de variación de las constantes. Se trata se buscar una solución de \eqref{eq:lin:sdl:nohom} que sea de la forma \[ \vn y_p(t)=\mat\Phi(t)\vn c(t), \] es decir, convertimos en funciones la parte que era constante en la solución de \eqref{eq:lin:sdl:nohom:hom}. Además fijaremos $t_0\in I$ e intentaremos que la solución buscada verifique $\vn y_p(t_0)=\vn 0$, es decir, buscamos resolver el problema de Cauchy \begin{equation} \begin{cases} \vn y'=\mat A\vn y+\vn b(t) \\ \vn y(t_0)=\vn 0. \end{cases} \label{eq:lin:sdl:nohom:pc} \end{equation} Imponiendo que nuestra $\vn y_p(t)=\mat\Phi(t)\vn c(t)$ sea solución de \eqref{eq:lin:sdl:nohom}, tendremos \[\begin{split} &(\mat\Phi(t)\vn c(t))'=\mat A\mat\Phi(t)\vn c(t)+\vn b(t)\\ \Leftrightarrow& \mat\Phi'(t)\vn c(t)+\mat\Phi(t)\vn c'(t)= \mat A\mat\Phi(t)\vn c(t)+\vn b(t). \end{split}\] Como $\mat\Phi(t)$ es inversible $\forall t\in I$, podemos despejar $\vn c'(t)$, \[ \vn c'(t)= \mat\Phi^{-1}(t)\left(\left( \mat A\mat\Phi(t)-\mat\Phi'(t)\right)\vn c(t)+\vn b(t) \right), \] Pero por ser $\mat\Phi(t)$ sistema fundamental de soluciones de \eqref{eq:lin:sdl:nohom:hom}, se tiene que $\mat A\mat\Phi(t)-\mat\Phi'(t)=\mat0$, luego \[ \vn c'(t)=\mat\Phi^{-1}(t)\vn b(t), \] y por lo tanto, $\vn c(t)$ se puede obtener integrando. Ajustando la constante de integración para que se verifique la condición inicial del problema de Cauchy \eqref{eq:lin:sdl:nohom:pc} \[ \vn c(t)=\inte{t_0}t{\mat\Phi^{-1}(s)\vn b(s)}{s}, \] y la solución particular adopta la forma \begin{equation} \vn y_p(t)=\mat\Phi(t)\inte{t_0}t{\mat\Phi^{-1}(s) \vn b(s)}{s}, \label{eq:lin:sdl:nohom:vc:sp} \end{equation} por lo que la solución general de \eqref{eq:lin:sdl:nohom} es \begin{equation} \fres{ \vn y(t)=\mat\Phi(t)\vn c+ \mat\Phi(t)\inte{t_0}t{\mat\Phi^{-1}(s)\vn b(s)}{s},\;% \vn c\in\R^m.} \label{eq:lin:sdl:nohom:vc:sg} \end{equation} Como consecuencia, la solución del problema de Cauchy \begin{cases} \vn y'=\mat A\vn y+\vn b(t) \\ \vn y(t_0)=\vn y_0, \end{cases} adoptará la forma \begin{equation} \fres{ \vn y(t)=\mat\Phi(t)\mat\Phi^{-1}(t_0)\vn y_0+ \mat\Phi(t)\inte{t_0}t{\mat\Phi^{-1}(s) \vn b(s)}{s}.} \label{eq:lin:sdl:nohom:vc:pc} \end{equation}

Proposición 9.1.11 [Principio de superposición de soluciones]
Si $\vn y_j(t)$ es solución de $\vn y'=\mat A\vn y+\vn b_j(t)$, $j=1,\ldots,k$, entonces \[ \sum_{j=1}^k\vn y_j(t), \] es solución de \[ \vn y'=\mat A\vn y+\sum_{j=1}^k\vn b_j(t). \]