Representación de un conjunto de $\R^2$ como región elemental

Es frecuente que nos describan un conjunto compacto de $\R^2$ sobre el que tenemos que realizar una integral doble de una manera en la que no esté claro que es una región elemental, aunque realmente lo sea. Por ejemplo, esto sucede en el Ejemplo 5.1.8 de los apuntes \[ C=\con{\ve{x,y}\in\R^2}{\begin{array}{l} x^2+y^2\leq1,\\ x\geq0,\,y\geq0 \end{array}}. \]

En estos casos, lo primero que tenemos que intentar es dibujar el conjunto con las técnicas que aprendimos en un capítulo anterior. En nuestro ejemplo obtendríamos el sector circular

A continuación deberemos encontrar la franja o banda horizontal o vertical más pequeña posible en la que está comprendida la figura. En nuestro ejemplo, busquemos la banda horizontal

lo que nos dice que nuestra figura está contenida en la región $0\leq y\leq1$. Ahora para cada valor de la variable que hemos acotado en la banda, ($y$ en este caso) intentamos ver si la otra variable ($x$ en este caso) varía entre dos funciones de la primera variable fijada ($y$ en este caso)

Vemos en este ejemplo que para cada $y$ entre $0$ y $1$, $x$ varía entre las curvas $x=0$ y $x=\sqrt{1-y^2}$. Las ecuaciones de estas curvas aparecen manipulando las expresiones que nos dieron para definir $C$.

Por lo tanto, $C$ se puede expresar como región elemental de tipo II así \[C=\con{\ve{x,y}\in\R^2}{0\leq y\leq 1,\,0\leq x\leq\sqrt{1-y^2}}.\]

Obsérvese que en este caso, podríamos haber empezado fijando una banda vertical para acabar expresando $C$ como una región elemental de tipo I. Se deja como ejercicio completar los detalles.

Representación de un conjunto de $\R^3$ como región elemental

Hay un método de carácter geométrico que sirve para representar un compacto de $\R^3$ como región elemental cuando nos lo dan mediante otro tipo de descripción. Para ilustrarlo utilizaremos un ejemplo sencillo. Tomemos la esfera (maciza) de radio $1$ centrada en $(0,0,0)$, como en el Ejemplo 5.2.3 (pág 89) \[ S=\con{\ve{x,y,z}\in\R^3}{x^2+y^2+z^2\leq1}. \] No está expresado como región elemental, pero en realidad puede expresarse como tal, como se muestra en el Ejemplo de los apuntes. Veamos como podríamos llegar a las fórmulas que aparecen alli.

1. Primero tenemos que intentar dibujar la figura. Para ello utilizaremos las técnicas vistas en el Capítulo 1. En nuestro ejemplo tedríamos

   

2. Elegimos uno de los ejes coordenados y vemos como son las secciones de la figura por planos perpendiculares a dicho eje. En términos coloquiales, partimos nuestra figura en rodajas a lo largo del eje fijado. Por ejemplo, fijemos el eje $z$. Algunas de las rodajas de la esfera a lo largo del eje $z$ serán

   

   Nota: En realidad, si aplicamos las técnicas que vimos en el tema 1 para dibujar figuras, probablemente ya tengamos esta descomposición en rodajas hecha en el punto 1.
3. Intentamos localizar una rodaja que sea más grande que las otras, y tal que si proyectamos todas las demás a lo largo del eje fijado sobre ella, queden totalmente dentro de ella. Si existe tal rodaja, la llamaremos coloquialmente rodaja maximal.
   En nuestro caso existe tal rodaja, y se obtiene para $z=0$. En la figura anterior está representada en color rojo. Veamos todas las rodajas proyectadas en el plano $z=0$ para comprobar que las demás caen dentro de la rodaja ecuatorial.

   

   Nota: A veces puede no existir una rodaja maximal. En este caso tendríamos que elegir otro eje y empezar de nuevo.
   Nota: A veces la rodaja maximal no es única. Pensemos por ejemplo en un tronco cilindro con eje de simetría paralelo al eje que fijemos. En este caso se tomaría cualquier rodaja maximal.
   Nota: Si existe una rodaja maximal, en general no tiene por que estar situada en posición simétrica respecto de la figura como en nuestro ejemplo.
4. Supuesto que existe una rodaja maximal, la dibujamos en dos dimensiones. En nuestro caso la rodaja maximal, $M$, se obtenía para $z=0$, por lo tanto la podemos representar en el plano $xy$, haciendo $z=0$ en las inecuaciones que definen $S$. Sería por tanto \[M=\con{(x,y)\in\R^2}{x^2+y^2\leq1}.\] Ahora intentamos representar esa rodaja en $\R^2$ como región elemental bidimensional con las técnicas que ya conocemos. En nuestro caso se trata del círculo unidad, que ya sabemos representar como región elemental en dos variables,

   

   obteniendo las condiciones \[\begin{split} &-1\leq x\leq1,-\sqrt{1-x^2}\leq y\leq\sqrt{1-x^2}. \end{split}\]
5. Ahora llevamos otra vez la rodaja maximal a la figura tridimensional. Vamos fijando puntos en la rodaja maximal y desplazándonos sobre esos puntos en paralelo al eje que hemos fijado, nos fijamos con que superficies nos encontramos y eso nos marcará los límites en los que puede variar la variable correspondiente al eje fijado.
   En nuestro ejemplo

   

   vemos que para cada punto que fijemos en la rodaja maximal, $M$, podemos movernos con $z$ sin salirnos de la esfera desde el casquete inferior hasta el casquete superior. Para encontrar las ecuaciones de dichos casquetes despejamos $z$ en la ecuación de la superficie esférica \[x^2+y^2+z^2=1,\] obteniendo \[z=\sqrt{1-x^2-y^2}\] para el casquete superior y \[z=-\sqrt{1-x^2-y^2},\] por lo que el margen de variación de $z$ dentro de la esfera es \[-\sqrt{1-x^2-y^2}\leq z\leq\sqrt{1-x^2-y^2}\]
6. Finalmente se añaden las condiciones para la variable que quedaba a las condiciones obtenidas para la rodaja maximal, y se tiene la expresión del conjunto como región elemental. En nuestro ejemplo \[\begin{split} &-1\leq x\leq1,\\ &-\sqrt{1-x^2}\leq y\leq\sqrt{1-x^2},\\ &-\sqrt{1-x^2-y^2}\leq z\leq\sqrt{1-x^2-y^2} \end{split}\]

Nota: Como se mencionó antes, si fijando un eje no se puede completar el proceso, se fijará otro. Cuando no se pueda completar el método descrito respecto de ningún eje coordenado, este método no permite representar el conjunto como región elemental.

Nota: Para algunos conjuntos lo anterior funciona para más de un eje. Por ejemplo, para la esfera, fijando cualquiera de los tres ejes coordenados, se puede completar el proceso, proporcionando diversas escrituras de la esfera como región elemental.

Nota: En la etapa final conviene visualizar geométricamente cuáles son las superficies que limitan la variación de la variable fijada al principio. Para obtener dichas superficies, siempre hay que despejar dicha variable en alguna de las expresiones que definen nuestro conjunto.

Nota: Existen otros métodos para intentar representar un conjunto de $\R^3$ como región elemental, pero este tiene varias ventajas

• Nos apoyamos en la geometría del objeto y así vemos lo que estamos haciendo.
• El propio proceso de dibujar la figura (capítulo 1), nos proporciona ya alguna descomposición en rodajas que puede que nos permita completar el método.
• En el paso en el que se estudia la rodaja maximal, reducimos una dimensión, lo cual simplifica esta parte del problema. Además podemos utilizar todo lo que hemos aprendido para representar regiones elementales bidimensionales.

Nota: Cuando no se pueda dibujar el conjunto, todavía podríamos intentar manipular las desigualdades algebraicamente para encontrar una posible representación como región elemental, de manera análoga a lo que se hizo en el Ejercicio 5.1 en el caso bidimensional. Esto en general suele ser difícil, pues hay que proceder a ciegas.

Proyecciones

En algunos casos el método de rodajas que acabamos de describir no funciona. Todo depende de si somos capaces o no de encontrar una rodaja maximal respecto de algún eje coordenado. A veces esto no es posible. Un ejemplo donde ocurre esto es en el Ejercicio 5.40 (pág 100).

En el ejercicio 5.40 tenemos que calcular el volumen de una cierta figura, que podemos denotar por $D$ que está limitada por el parabolide $z=x^2+y^2$ y por el plano $z=2+2x+2y$

Tenemos que \[ D=\con{\ve{x,y,z}\in\R^3}{z\geq x^2+y^2,\,z\leq2+2x+2y}. \] Para este conjunto no es posible definir ninguna rodaja maximal respecto de ninguno de los ejes coordenados.

Cuando sucede esto, se puede proyectar la figura sobre uno de los planos coordenados, sustituir la rodaja maximal por esta proyección y proceder a partir de aquí exactamente igual que en el método de rodajas.

Los problemas que surgen aquí son que no siempre es sencillo calcular la proyección de la figura sobre un plano coordenado cuando viene dada por desigualdades y que a veces esta proyección no verifica las propiedades adecuadas para que pueda sustituir a la rodaja maximal.

Estos problemas son complicados y exceden en general el nivel que vamos a exigir en esta asignatura, pero en algún caso sencillo, como el del Ejercicio 5.40, no existen estos problemas.

Para el Ejercicio 5.40, veamos cual sería la ecuación de la curva intersección del parabolide con el plano \[ \begin{cases} z=x^2+y^2\\ z=2+2x+2y \end{cases} \] Estas ecuaciones implican que $x^2+y^2=2+2x+2y$, pero \[x^2+y^2=2+2x+2y\Longleftrightarrow x^2-2x+y^2-2y=2\Longleftrightarrow (x-1)^2+(y-1)^2=4,\] ecuación esta última que corresponde al cilindro circular de radio $2$ cuyo eje de simetría es la recta paralela al eje $z$ que pasa por $(1,1,0)$.

Además es sencillo ver que $D$ está contenida en la parte interior del cilindro. Por lo tanto la proyección de $D$ sobre el plano $xy$ es el círculo de radio $2$ con centro en $(1,1,0)$, que se puede representar como región elemental bidimensional mediante las desigualdades \[\begin{split} &-1\leq x\leq3,\\ &1-\sqrt{4-(x-1)^2}\leq y\leq1+\sqrt{4-(x-1)^2} \end{split}\] y ahora, para cada punto en este círculo, $z$ puede variar en $D$ desde el parabolide hasta el plano, es decir \[ x^2+y^2\leq z\leq 2+2x+2y. \]