Ejercicio 4.108

Sean \(a,b\in\R\) con \(e^{2} < a < b\). Probar que

\[\int_a^b\frac{\text{d}t}{\log t}<\frac{2b}{\log b}\]

Solución

Se tiene que la desigualdad que se quiere probar \[ \int_a^b\frac{\text{d}t}{\log t}<\frac{2b}{\log b}, \] es equivalente a \begin{equation}\label{desigualdad} \frac{2b}{\log b}-\int_a^b\frac{\text{d}t}{\log t} > 0. \end{equation}

Definimos la función auxiliar \[ f(x)=\frac{2x}{\log x}-\int_a^x\frac{\text{d}t}{\log t},\;x\in[a,b], \] y veremos que es estrictamente creciente.

Por la proposición 4.3.7 y por la aritmética de funciones continuas, \(f\) es continua en \([a,b]\). Por el Teorema 4.3.8 y debido a que \(1/\log t\) es continua en \((a,b)\), \(f\) es derivable en \((a,b)\).

Entonces, por la Proposición 3.5.5, para ver que \(f\) es estrictamente creciente, basta ver que \(f'(x)>0\) para cada \(x\in(a,b)\).

Aplicando la primera fórmula de derivación del Corolario 4.3.9, tenemos \[ f'(x)=\frac{2\log x-2}{\log^2x}-\frac{1}{\log x}, \]

y operando \[ f'(x)=\frac{2\log x-2-\log x}{\log^2 x}=\frac{\log x-2}{\log^2 x}. \]

Sea \(x\in(a,b)\). Se tiene que \(a < x < b\). Por las hipótesis del enunciado tenemos que \(e^2 < a < x\). Por tanto \[e^2 < x\Leftrightarrow 2 < \log x\Leftrightarrow\log x-2>0.\] y como consecuencia \[f'(x)>0,\;\forall\,x\in(a,b),\] por lo que \(f\) es estrictamente creciente en \([a,b]\).

Entonces \[b > a \Rightarrow f(b) > f(a),\] por lo que \[ \frac{2b}{\log b}-\int_a^b\frac{\text{d}t}{\log t}> \frac{2a}{\log a}, \] y de la desigualdad del enunciado \(0< e^2 < a\) se sigue que \( 0 < 2< \log a\) y que \[ \frac{2a}{\log a}>0, \] quedando probada la desigualdad (\ref{desigualdad}) y por tanto lo que se pedía en el enunciado.